Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами.
Математика характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий (точки, не имеющие площади, линии без толщины, множества любых предметов и т.п.) и высокой степенью их общности (в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматривается структура произвольных высказываний).
Предмет математики в действительном мире - это пространственные формы и количественные отношения мироздания. Отсюда вытекает проблема выделения количественных отношений в чистом виде, то есть возникает вопрос, как описать отношения равенства, принадлежности, соизмеримости, геометрические отношения и т.п. таким образом, чтобы это описание не зависело от содержания объектов. Это проблема создания метода, адекватного предмету исследования.
В ходе становления и развития математики постепенно формировались ее основные методы такие, как анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и абстрагирование, аналогия и различные типы аксиоматик - содержательная, полуформальная и формальная.
Среди обозначенных методов, применяемых в математике для выделения формы в чистом виде и ее изучения, специфическим методом математики является только аксиоматический метод. Это способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются дедуктивно как логические следствия аксиом. Теория, созданная на основе этого метода, называется аксиоматической. В аксиоматической теории все термины разделяются на исходные и производные, а все предложения – на недоказуемые (аксиомы) и доказуемые (теоремы).
Математика в высокой степени абстрактная наука, однако, она не оторвана от реальной действительности. Математика развивается, как исходя из внутренней логики математического знания, так и под воздействием запросов естествознания и техники, в рамках которых математика выступает как прикладная наука. Потребности науки и техники стимулируют развитие теоретической математики. Так, создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей – теория информации; развитие методов приближенного решения дифференциальных уравнений связано с нуждами астрономии и т.д. Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все формы движения материи, а также сознание могут исследоваться математически.
В настоящее время наиболее универсальными математическими методами, широко и успешно применяемыми в разных науках, являются методы математической гипотезы и математического моделирования. Данные методы позволяют спрогнозировать и изучать явления в любой сфере человеческой деятельности, поэтому они используются не только в естествознании, но также и в социально-гуманитарных науках. Наиболее эффективно их использование в физике, технических науках, астрономии, социальной экологии.
